第一章 指數與對數
1-1指數
一、定義： 對於一個實數 a ，自乘 n 次，a×a×a×…..×a，n
N
我們就簡寫為 an ，稱 an
為「a的n次方」
對於 a
R ， n
N，我們定義 an＝a×a×a×…..×a
其中 a 叫做底數， n 叫做指數
。
( Ex )： 54＝5×5×5×5＝625
(1.2)3＝1.2×1.2×1.2＝1.728
(
)5＝
×
×
×
×
＝
二、正整數指數與指數律
＝
＝
＝4 3+5
76÷72＝
÷
＝
＝
＝7 6-2
(93)2＝
＝
＝
＝9 6＝
＝
＝
＝
正整數指數的運算法則--------指數律（m，n
N；m＞n；a，b
R）
1. 
＝a m+n
2. 
＝ a m-n
3. ( am
) n＝ 
4. ( ab )
n＝ 
(
Ex )： ( 8 4 ) 4 × 8 2 ÷ ( 8 5 × 8 10 ) ＝ ___________ 。
sol： ( 8 4 ) 4 ×
8 2 ÷ ( 8 5 × 8 10 )
＝ 8
16 × 8 2 ÷ 8 15
＝ 8
18 ÷ 8 15
＝ 
＝ 8
18-15
＝ 8
3
三、整數指數
1. “ 零指數 ”
的意義：
在指數律 
＝a m+n 中，取 m＝0 代入得
＝ a
0+n ＝ a n 。當 a
0 時，上式兩端同除以 a n
得到 a 0 ＝1
定義： a 是異於 0 的實數，規定
a 0＝1
（底數 a＝0 時，0 0 沒有意義）
2. “
負整數指數 ” 的意義：
在指數律 
＝a m+n 中，取 m＝－n（n
N）代入得
＝ a
-n+n ＝ a 0 ＝1（ a
0，a 0 方有意義）
上式兩邊同除以 a
n 得到 a -n＝
定義： a 是異於 0 的實數，規定：a
-n＝
（n
N）
(
Ex )： 3 -1 ＝ _______。 ===> 3 -1 ＝ 
＝ _______。
===> 
＝ 
＝ 
5
-2 ＝ _______。
===> 5 -2 ＝ 
＝ 
＝ _______。
===> 
＝ 
＝ 
＝ －
三、分數指數與實數指數
1. 定義： a＞0，n
N且n
2，m
z，
；
2. 將指數由「分數」推廣到實數，指數為實數時，指數律仍然會成立。
設 a，b＞0；p，q
R 則
(1) a p × a q ＝ a p+q (2) (a p) q ＝ 
(3) 
＝ (ab) p
設 a，b，c 為三正數，m，n
N
(1) 
(2) 
(3) 
利用上述這三個預備知識與分數指數的定義可得指數律三個性質如下：
(
Ex )： 設 a＞0 ，化簡 
＝ ___________ 。
sol： 
＝ 
＝ 
＝ 
×a 0 ＝ 
×1 ＝ 
以下提出例題應用：
( Ex1 )： 已知 a 2
x ＝
＋1 ， 試求 
之值 ___________ 。
sol： 乘法公式： a 3＋b 3
＝ ( a＋b )( a 2－ab＋b 2 )
a 3 x＋a
–3 x
＝ (a x ) 3＋(a –x
) 3 ＝ ( a x＋a –x )( a 2 x－
＋a –2
x )
＝ ( a x＋a –x
)( a 2 x－1＋a –2
x )
＝ 
＝ a 2 x＋a
–2 x－1
＝ (
＋1)＋
－1 ＝ 
－1
(
Hw )： 已知 a 2 x ＝
＋1 ， 試求 
之值 ___________ 。
sol： 分子.分母同乘以
a x ，再利用 a 2 x ＝
＋1 解之
Ans： _____3+
_____ 。
(
Ex2 )： 已知 8 x ＝ 9 y ＝ 6 z
且 xyz
0 ， 若 
則 k 值為 ___________ 。
sol： 
8 x ＝
6 z 且 9 y ＝ 6 z
===> 
===> 
(1)×(2)
===> 6 ＝ 
===> 1 ＝ 
同乘以
6 ===> 6 ＝ 
同除以 z ===> 
k ＝ 6
( Hw )： 設 2 x ＝ 3
y ＝ 5 z ＝ k ，且 
＝2 ，則 k 之值為 ___________
。
Ans： _____
_____ 。
( Ex3 )： 滿足 
之數對 ( x , y ) ＝
___________ 。
sol： 
===> 
------(1)
又 2 8x + 6y ＝ 16 x y ， 
2 8x + 6y ＝
2 4 x y
===> 8x＋6y＝4xy ===> 
------(2)
(1) 代入 (2) 得 
===> y＝4 代入 (1) 得 x＝3
故 ( x , y ) ＝ ( 3 , 4 )
(
Hw )： 若 
， 則 x ＝
___________ 。 Ans： _____1_____ 。
( Ex4 )： 解方程式 4 x －
＋ 32 ＝ 0 ， 則 x ＝ ___________ 。
sol： 4
x －
＋ 32 ＝ 0
( 2 2 ) x －
＋32 ＝ 0
( 2 x ) 2 －
＋32 ＝ 0
( 2 x －4 )( 2 x －8
) ＝ 0
2 x ＝
4 ＝ 2 2 或 2 x ＝ 8 ＝ 2 3
===>
x ＝ 2 或 3
(
Hw )：
解方程式 3 2x - 1 －
＋1 ＝ 0 ，則 x ＝ ___________ 。
sol：
3 2x - 1 －
＋1 ＝ 0
－
＋1 ＝ 0
－
＋1 ＝ 0 去分母解之
Ans： _____－1
或 2_____ 。
(
Ex5 )： 設於某項實驗中，細菌數 1 日後增加 a 倍，且已知 3 日後細菌數
為200000 ， 
日後細菌數為 1600000 ，
試求：
(1) a 值 (2) 5
日後的細菌數 (3) 
日後的細菌數
(4) 細菌數為 800000 時所需的日數 。
sol： 設原有細菌數 N 個， 1 日後有 N＋N×a＝N(1＋a) 個
2 日後有 N(1＋a)＋N(1＋a)×a＝N(1＋a)
2 個
3 日後有 N(1＋a) 2＋N(1＋a) 2×a＝N(1＋a) 3
個
.
.
.
k 日後有 N(1＋a) k
個
(1) 
＝
200000 ------<1>
＝ 1600000 ------<2>
由 
得 
＝ 8 ＝ 2 3
===> 1＋a ＝ 
＝ 2 2 ＝
4 
a＝3
(2) 5 日後的細菌數為 3 日後的細菌數再經過 2 日
(3) 
日後的細菌數為
200000 × 
＝ 200000 × 
＝ 200000 × 2 –
3 ＝ 25000
(4) 設細菌數為 800000 時所需的日數為 x
===> 800000 ＝ 200000 × 
===> 4 x -3 ＝ 4 ===> x－3＝1
===> x＝4
( Hw )： 設某項實驗中，細菌數 1 日後增加 1 倍，則
(1)
n＋5 日後的細菌數是 n＋2 日後的細菌數的 __________ 倍 。
(2)
一星期後的細菌數是 3 天前的細菌數的 __________
倍 。
(3)
如果 100 天後會有 N 個細菌，那麼
__________ 天後有 
個細菌 。
Ans： _____(1) 8
(2) 1024 (3) 98_____ 。